ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ  №  26

  ТЕМА: Решение уравнений в системе MathCad.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: Практически применять среду MathCAD для решения прикладных задач.

ВРЕМЯ ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:  2 часа.

 

На практике Вам неоднократно приходилось решать различные уравнения, например линейные ах + b = 0, квадратные ах2 + bх + с = 0, тригонометрические.

Любое уравнение может быть приведено к виду f(х) = 0 в результате переноса всех членов в левую часть.

Решить уравнение значит найти такие значения аргумента (корни), которые обращают его в тождество.

Формулы для выражения корней в аналитическом виде существуют далеко не для всех уравнений  и за­частую весьма громоздки. Поэтому на практике так велика роль вычислительных методов.

При нахождении корней уравнения выделяют два этапа:

отделение корней — поиск промежутков, которым они принадлежат;

уточнение корней — определение их значений с заданной точностью.

В основе отделения корней лежат следующие положения. Если непрерывная на отрезке [а; b] функция f(х) имеет на его концах противоположные знаки, то на этом отрезке находится хотя бы один корень (нуль функции), и график функции пересекает ось ОХ. Если при этом функция монотонно возрастает или убывает (знак производной не изменяется), то корень на данном отрезке единственный.

Таким образом, решение уравнения сводится к отысканию промежутков локализации корней и последующему их уменьшению до тех пор, пока не будет получена требуемая точность. Наиболее просто и наглядно это делается с помощью таблиц и графиков. При этом область определения и шаг изменения аргумента выбирают так, чтобы график функции f(х) отражал ее поведение на всем промежутке, содержащем искомые корни.

Рассмотрим некоторые способы решения уравнений в Mathcad. Начнем с графического, поскольку он позволяет в наиболее простом и наглядном виде от­делять и уточнять корни.

Упражнение 1. Найти корни уравнения х- 4 соs х = 0 графическим способом.

Определим функцию: f(х):= х-4·соs (х). Построим график функции f(x), на промежутке от -10 до 10 с шагом 0.1, чтобы увидеть особенности графика и обнаружить все корни (точки пересечения с осью ОХ). Для данного уравнения их 3

.

Для уточнения корней сузим промежуток: 

.

Для  определения  численных  значений   корней   воспользуемся   инструментом Слежение (Тгасе). Он вызывается щелчком правой клавишей мыши по  графику  и   отображает  координаты   точек,   попадающих  на   пересечение линий, которые можно перемещать при нажатой левой клавише мыши

.

Для следования по точкам графика необходимо установить флажок Трассировка данных  (Тгасk Datа Роints).

Отслеживая в поле Y-vаlue минимальное по модулю значение при переходе функции через нуль, в поле Х-value последовательно определим все корни:

 -3.6; -2.1; 1.3.

Уменьшим шаг изменения аргумента в 10 раз (0.01), задав х:= -4, -3.99..2 и растянем с помощью мыши график для удобства наблюдения.

Корни будут определены с большей точностью: -3,59; -2,13; 1,25.

 

Маthcad содержит мощные средства решения уравнений. Некоторые из них собраны в категории Solving (Решения) и вызываются нажатием кнопки на панели Стандартная или командой Insert- Function (Вставка - Функции).

Упражнение 2.  Найти корни уравнения sinx+sin3x+4cos3x=0  с помощью функции root( ).

Предварительно создадим график функции f(x) = sin(x) + sin(3.x)+4.(cos(x))3 чтобы увидеть особенности графика и обнаружить все корни (точки пересечения с осью ОХ).

С помощью  системной переменной ТОL задим точность вычислений  (ТОL: = 10-6).

Применяя функцию гооt (f(х), х) найдем корни уравнения, как показано на рисунке

 

Самостоятельная работа.

Найдите корни уравнения графическим способом, уточните корни с помощью функции гооt()

 

Содержание отчета.

Отчет должен содержать ответы выполненных упражнений и ответы на контрольные вопросы.

1. С какой целью используют трассировку графика?

2. Назовите этапы решения уравнения с помощью функции root().