ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ  N  27

  ТЕМА: Решение систем уравнений и неравенств в системе МаthCad.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: Практически применять среду MathCAD для решения прикладных задач, в том числе вычислительной математики.

ВРЕМЯ ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:  2 часа.

В курсе алгебры Вы познакомились с некоторыми способами решения систем уравнений с двумя неизвестными. Решение систем с большим количеством уравнений и неизвестных весьма трудоемко и требует применения вычислительной техники.

Напомним, что решением системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

является упорядоченная пара значений х, у, которые обращают каждое уравнение системы в равенство.

 

Решение  системы линейных алгебраических уравнений в матричной форме

Систему n линейных уравнений с n неизвестными в общем виде записывают так:

 

Решением этой системы является упорядоченный набор значений неизвестных x1, х2, ..., хn (обозначаются одной буквой х с индексом, который соответствует номеру неизвестного). Коэффициенты при неизвестных обозначены буквой аij с двумя индексами: первый индекс i соответствует номеру уравнения, а второй j — номеру неизвестного. Числа в правых частях уравнений обозначены буквой b с индексом, соответствующим номеру уравнения.

Символически систему уравнений можно записать в сокращенном виде:

АХ = В.

Эта запись по форме напоминает простейшее линейное уравнение ах = b. Существенная разница заключается в том, что символами А, X и В здесь обозначены не числа, а более сложные математические объекты: упорядоченные наборы значений (чисел). Их удобно размещать в таблицах:

В математике такие таблицы называют матрицами (в программировании им соответствуют массивы).

Для решения системы n линейных уравнений с n неизвестными (матрица коэффициентов А такой системы квадратная) в Маthcad предусмотрена функция

lsolve (А, В),

аргументами которой являются матрица коэфициентов A и вектор-столбец В правых частей системы уравнений.

Упражнение 1. Решить систему уравнений

Используя панель инструментов Матрицы :

• введем матрицу коэффициентов при неизвестных А. Для этого наберем имя матрицы, затем знак операции присваивания, нажмем кнопку Создать матрицу или вектор. В окне Создать матрицу  укажем число строк и столбцов и заполним появившийся шаблон

;

• введем вектор-столбец В правых частей системы уравнений

.

• Применив функцию lsolve(А, В), получим решение

 

Численное решение системы линейных алгебраических уравнений.

При численном решении систем линейных уравнений используется специальный вычислительный блок, открываемый служебным словом - директивой Given.

Для решения систем уравнений и неравенств с n неизвестными х1 x2 ..., хп используется  конструкция Given - find (Дано — найти). Наибольшая трудность при решении систем нелинейных уравнений состоит в определении начальных приближений. Они должны задаваться до блока решения, который начинается ключевым словом Given (Дано). Внутри блока помещаются уравнения, а также неравенства. Завершает блок решения функция от n аргументов find(х12,…xn). Они перечисляются в том порядке, в котором будут выведены в вектор-столбец решения системы. Подчеркнем, что внутри блока решений используются знаки логического сравнения (<, , >,, жирный знак равно «=»), которые связывают левые и правые части уравнений и неравенств.

Упражнение 2. Решить систему уравнений

3x+8y-9z=12

5x-9y+2z=34

8x-6y+5z=98

Для этого необходимо совершить следующие действия:

• Набрать начальные приближения – произвольные числа

           х:=1   y:=1   z:=1

• Набрать с клавиатуры директиву given

• Набрать систему уравнений, обязательно записывая знак умножения, причем знак = нужно набирать не на арифметической панели, а на панели логики .

• Набрать  выражение otvet:= find(x,y,z)

• Набрать  otvet =

После этого будет получен ответ в виде вектора – столбца.

Вместо слова  otvet можно использовать любой набор букв и цифр, начинающийся с буквы. Этот набор обозначает имя, которое Вы присваиваете вектору ответов.

На рисунке показано решение этой системы:

Самостоятельная работа.

1. Найдите решения системы линейных уравнений матричным методом:

2. Найдите решения системы уравнений и неравенств с помощью конструкции Given-find :

 

 

Содержание отчета.

Отчет должен содержать ответы выполненных упражнений